Relações Métricas no Triângulo Retângulo

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Calculadora Interativa

Cateto (b)

Cateto (c)

Hipotenusa (a)

Altura (h)

Projeção (m)

Projeção (n)

Resultados e Fórmulas

Os resultados calculados aparecerão aqui.

Explore a Teoria

O triângulo retângulo possui relações métricas que conectam suas medidas principais: hipotenusa (a), catetos (b e c), altura relativa à hipotenusa (h) e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa (m e n). Essas fórmulas são amplamente usadas na matemática e em aplicações práticas.

Teorema de Pitágoras: a² = b² + c²

O quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.

Quadrado de um cateto: b² = a · n   e   c² = a · m

O quadrado de cada cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto.

Quadrado da altura: h² = m · n

O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.

Produto dos catetos: a · h = b · c

O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos.

Ao traçar a altura relativa à hipotenusa, o triângulo retângulo se divide em dois triângulos menores, todos semelhantes entre si e ao triângulo original. Dessa semelhança, derivam-se as seguintes relações:

1. c² = a · m: Comparando o triângulo original e o da esquerda: c/a = m/c.

2. b² = a · n: Comparando o triângulo original e o da direita: b/a = n/b.

3. h² = m · n: Comparando os dois triângulos menores: h/m = n/h.

Essa propriedade de semelhança é a chave para deduzir todas as relações métricas de forma visual e lógica.

A área de um triângulo retângulo pode ser calculada de duas maneiras:

1. Usando os catetos: A = (b · c) / 2
2. Usando a hipotenusa e a altura: A = (a · h) / 2

Igualando as duas expressões:

a · h = b · c

O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos.

Essa fórmula é especialmente útil quando se conhece a altura ou quando se quer encontrá-la a partir de outras medidas.

Exemplos Práticos Resolvidos

Exemplo 1

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 cm e a projeção de um dos catetos sobre ela mede 3,6 cm. Calcule a medida do cateto correspondente.

Resolução:

Usamos c² = a · m.

c² = 10 · 3,6 = 36

c = √36 = 6 cm

Exemplo 2

Num triângulo retângulo, os catetos medem 5 cm e 12 cm. Calcule a altura relativa à hipotenusa.

Resolução:

1. Pitágoras: a = √(5² + 12²) = 13 cm.

2. Relação a · h = b · c.

13 · h = 5 · 12 ⟹ h = 60/13 cm.