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Relações Métricas no Triângulo Retângulo
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O triângulo retângulo possui relações métricas que conectam suas medidas principais: hipotenusa (a), catetos (b e c), altura relativa à hipotenusa (h) e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa (m e n). Essas fórmulas são amplamente usadas na matemática e em aplicações práticas.
Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
O quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.
Quadrado de um cateto:
b² = a · n e c² = a · m
O quadrado de cada cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto.
Quadrado da altura:
h² = m · n
O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.
Produto dos catetos:
a · h = b · c
O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos.
Ao traçar a altura relativa à hipotenusa, o triângulo retângulo se divide em dois triângulos menores, todos semelhantes entre si e ao triângulo original. Dessa semelhança, derivam-se as seguintes relações:
1. c² = a · m: Comparando o triângulo original e o da esquerda:
c/a = m/c.
2. b² = a · n: Comparando o triângulo original e o da direita:
b/a = n/b.
3. h² = m · n: Comparando os dois triângulos menores:
h/m = n/h.
Essa propriedade de semelhança é a chave para deduzir todas as relações métricas de forma visual e lógica.
A área de um triângulo retângulo pode ser calculada de duas maneiras:
- Usando os catetos:
A = (b · c) / 2 - Usando a hipotenusa e a altura:
A = (a · h) / 2
Igualando as duas expressões:
a · h = b · c
O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos.
Essa fórmula é especialmente útil quando se conhece a altura ou quando se quer encontrá-la a partir de outras medidas.
Exemplos Práticos Resolvidos
Exemplo 1
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 cm e a projeção de um dos catetos sobre ela mede 3,6 cm. Calcule a medida do cateto correspondente.
Resolução:
Usamos c² = a · m.
c² = 10 · 3,6 = 36
c = √36 = 6 cm
Exemplo 2
Num triângulo retângulo, os catetos medem 5 cm e 12 cm. Calcule a altura relativa à hipotenusa.
Resolução:
1. Pitágoras: a = √(5² + 12²) = 13 cm.
2. Relação a · h = b · c.
13 · h = 5 · 12 ⟹ h = 60/13 cm.
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