Demonstração de Garfield para o Teorema de Pitágoras

Aula de Matemática: Demonstração de Garfield do Teorema de Pitágoras

Olá, turma! Hoje vamos aprender sobre o famoso Teorema de Pitágoras por meio da demonstração conhecida como "Demonstração de Garfield". Vamos entender como funciona!

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1. O Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é uma relação fundamental entre os lados de um triângulo retângulo. Ele afirma que, em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos catetos (os outros dois lados do triângulo).

Matematicamente, isso pode ser expresso como:

a² + b² = c²

onde a e b são os catetos, e c é a hipotenusa.

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2. A Demonstração de Garfield

A Demonstração de Garfield utiliza quadrados e triângulos para provar o Teorema de Pitágoras de uma maneira visual e intuitiva. Vamos começar:

• Imagine um quadrado grande com lado a + b, ou seja, a soma dos dois catetos.
• Dentro desse quadrado, desenharemos quatro triângulos idênticos, cada um com os catetos a e b, e a hipotenusa c.
• No centro do quadrado, sobra um pequeno quadrado com lado c, que é a hipotenusa do triângulo.

Agora, vamos calcular a área de duas maneiras diferentes:

Área do quadrado grande:

A área do quadrado grande, com lado a + b, é dada por:

(a + b)²

Área composta pelos triângulos e o quadrado central:

A área do quadrado grande também pode ser dividida da seguinte forma:

• O quadrado central tem área c² (porque o lado é c).
• Cada um dos quatro triângulos tem área (1/2)ab, logo a área total dos quatro triângulos é 2ab.

Portanto, a área total do quadrado grande é:

c² + 2ab

Igualando as duas expressões:

Como as duas expressões representam a mesma área, temos:

(a + b)² = c² + 2ab

Expandindo o lado esquerdo:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Cancelando o termo 2ab dos dois lados, sobra:

a² + b² = c²

Isso é exatamente o enunciado do Teorema de Pitágoras! Assim, a Demonstração de Garfield nos permite visualizar de forma clara a veracidade desse teorema.

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3. Por que isso é importante?

O Teorema de Pitágoras é um dos pilares da geometria e tem inúmeras aplicações na matemática, na física, na engenharia, e em muitas outras áreas. Entender essa demonstração pode nos ajudar a visualizar conceitos mais complexos de uma forma simples e intuitiva.

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Exemplo prático para fixar:

Imagine um triângulo retângulo onde os catetos medem 3 e 4

3² + 4² = c²

9 + 16 = c²

25 = c²

Logo, c = 5.

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